Імітаційне моделювання методом Монте-Карло

---

Загальний огляд

---

Багато систем є надто складними, щоб можна було аналітичними методами змоделювати впливи невизначеності на них. Однак їх можна оцінювати, розглядаючи вхідні дані як випадкові змінні та виконуючи певну кількість N обчислень (так званих імітаційних моделювань) формуванням вибірок вхідних даних для одержання N можливих наслідків бажаного результату.

Цей метод можна застосовувати до складних ситуацій, які може бути важко зрозуміти, застосовуючи аналітичні методи, та щодо яких важко застосовувати аналітичні методи. Системи можна розробляти, використовуючи електронні таблиці та інші традиційні засоби, але вже є новітніші засоби, які задовольняють більш складні вимоги і багато з яких сьогодні відносно недорогі. Коли метод було вперше розроблено, кількість ітерацій, необхідних для імітаційних моделювань методом Монте-Карло, робило процес уповільненим та клопітким, але досягнення у сфері обчислювальної техніки і теоретичні розробки (наприклад, формування вибірок методом «латинського гіперкуба») значно скоротили тривалість опрацювання в багатьох застосованнях.

Застосування

---

Імітаційне моделювання методом Монте-Карло — засіб оцінювання впливу невизначеності на системи в широкому спектрі ситуацій. Зазвичай його застосовують, щоб оцінити діапазон можливих результатів і відносну частоту значень у цьому діапазоні для кількісних показників системи (наприклад, вартості, тривалості, продуктивності, попиту та інших подібних показників). Імітаційне моделювання методом Монте-Карло можна застосовувати з двома різними цілями:

• поширення невизначеності на звичні аналітичні моделі;
• проведення ймовірнісних обчислень у разі незастосовності аналітичних методів.

Вхідні дані

---

Вхідні дані імітаційного моделювання методом Монте-Карло — детально пророблена модель системи та інформація про типи вхідних даних, джерела невизначеності, які має бути відображено, та про необхідні вихідні дані. Вхідні дані, пов’язані з невизначеністю, зображають як випадкові змінні з більшим або меншим розкидом їхніх розподілів відповідно до рівня незизначеностей, Задля цього часто використовують рівномірний, трикутний, нормальний і логарифмічно нормальний розподіли.

Процес

---

1. Визначають модель або алгоритм, які якомога точніше відображають поводження досліджуваної системи;
2. Модель тестують кілька разів, використовуючи випадкові числа, щоб отримати вихідні дані моделі (імітування системи). Коли застосування полягає в моделюванні впливів невизначеності, то модель подають у формі рівняння, яке відображає взаємозв’язок між вхідними параметрами та вихідними даними. Значення, які вибирають для вхідних даних, базуються на відповідних розподілах імовірності, які відображають характер невизначеності для цих параметрів;
3. В усіх випадках за допомогою комп'ютера модель застосовують багато разів (найчастіше до 10 000 разів) з різними вхідними даними та одержують численні вихідні дані. Використовуючи звичайні статистичні методи, ці результати може бути опрацьовано, щоб одержати таку інформацію, як, наприклад, середні значення, стандартний відхил, довірчі інтервали. Нижче наведено приклад імітаційного моделювання.
   Розглянемо випадок двох елементів, призначених функціювати паралельно, але для функціювання системи обов'язковим є функціювання хоча б одного з них. Перший елемент має надійність 0,9, а другий — 0,8.
   Можна побудувати таблицю для обчислень з показаними нижче стовпцями.

   За допомогою генератора випадкових чисел можна отримати число від 0 до 1, використовуване для порівнювання з імовірністю кожного елемента, щоб визначити, чи функціює система. Маючи лише 10 обчислень, не треба очікувати, що результат 0,9 буде точним. Звичайний підхід передбачає долучений обчислювального пристрою, щоб відстежити, як загальний результат імітаційного моделювання досягає потрібного рівня точності. У цьому прикладі результат 0,979 9 було досягнено після 20 000 ітерацій.

   Наведену вище модель може бути розширено багатьма способами. Наприклад:

   • розширенням самої моделі (наприклад, уважаючи, що другий елемент починає функціювати відразу після відмови першого елемента);
   • перетворенням постійної ймовірності на змінну ймовірність (показовим прикладом є трикутний розподіл), коли ймовірність неможливо точно визначити;
   • використанням інтенсивності відмов у поєднанні з генератором випадкових подій для одержання часу відмови (експоненційний розподіл, розподіл Вейбулла чи інший відповідний розподіл) і передбаченням часу відновлювання.

   Цей метод застосовують також для загального оцінювання невизначеності фінансових прогнозів, ефективності інвестування, прогнозів щодо вартості та етапності виконання проекту, порушень у бізнес- процесі та потреб у найманні персоналу.

   Аналітичні методи не дають змоги одержувати слушні результати, коли є невизначеність у вхідних даних і, через це, у вихідних даних.

Вихідні дані

---

Вихідними даними можуть бути окремі значення, як визначено в прикладі вище, результат зазначено як імовірність чи розподіл частот, або визначення основних функцій моделі, що найбільше впливає на вихідні дані.

Імітаційне моделювання методом Монте-Карло застосовують для загального оцінювання сукупного розподілу результатів, що можуть виникати, або ключових показників, зумовлених розподілом, таких як:

• імовірність виникнення визначеного результату;
• значення результату, щодо якого особи, яких стосується проблема, мають певний рівень упевненості в тому, що його не буде перевищено, витрати, можливість перевищення яких становить менше ніж 10 %, або тривалість, упевненість у перевищенні якої становить 80 %.

Аналізування зв’язків між вхідними та вихідними даними може сприяти виявленню відносної важливості задіяних чинників та ідентифікуванню цілей, на які корисно спрямовувати зусилля, щоб впливати на невизначеність результату.

Переваги та обмеженості

---

Переваги

Недоліки

метод можна застосовувати за будь-якого розподілу вхідної змінної, охоплюючи емпіричні розподіли, виведені зі спостережень за суміжними системами; моделі відносно прості для розробляння, їх можна розширювати за потреби; дає змогу зображати всі впливи чи зв'язки, що виникають у реальності, зокрема ефекти, які важко виявити, наприклад, умовні залежності; для ідентифікування сильних і слабких впливів можна застосовувати аналізування чутливості; моделі легкі для розуміння, оскільки зв’язок між вхідними та вихідними даними є прозорим; є ефективні поведінкові моделі, наприклад, мережі Петрі (майбутній ІЕС 62551), які виявляються дуже ефективними для цілей імітаційного моделювання методом Монте-Карло; забезпечує міру точності результату; програмне забезпечення доступне і відносно недороге.

точність рішень залежить від кількості імітаційних моделювань, які може бути виконано (ця обмеженість стає менш вагомою в разі збільшення швидкодії комп’ютера); спирається на спроможність зображати невизначеності параметрів переконливим розподілом; великорозмірні та складні моделі можуть завдавати труднощів спеціалісту з моделювання та утруднювати участь у процесі зацікавлених сторін; метод може неадекватно розрізняти важливі наслідки та малоймовірні події і, тому, не давати змоги відображати в аналізі готовність організації до ризику.

Рекомендовані документи

---

ІЕС 61649 Weibull analysis (Аналіз Вейбулла).

ІЕС 62551 Analysis techniques for dependability – Petri net techniques (Методи аналізування надійності. Методи моделювання мережами Петрі).

ІЗО/ІЕС Guide 98-3:2008 Uncertainty measurement – Part 3: Guide to the of uncertainty in measurement (GUM: 1995) (Невизначеність вимірювання. Частина 3. Настанова щодо подання невизначеності вимірювання).